수학과 사회 - 집합론 history(역사)
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작성일 23-01-30 22:17
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그렇다면 하나의 집합은 그 자신의 구성원이 될 수 있을까? 중학생들의 집합은 중학생들을 구성원으로 하겠지만, 그 집합 자체는 중학생이 아닌것이다 . 하지만 모든 집합들의 집합의 경우는 어떤가? 그러한 집합의 구성원들은 그 자체로 집합들이다.
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『수학원리』의 목적은 모든 순수 수학은 순전히 논리적 전제들로부터 도출해 낼 수 있으며 오로지 논리적인 언어만을 가지고 정의할 수 있는 개념만을 사용한다는 것을 보이려는 것이다. 아마도 이 과정에서 가장 중요한 사건의 하나는 이른바 러셀의 패러독스(Russells Paradox)라고 하는 역리를 발견한 것일텐데, 러셀이 1901년 이 역리를 발견했을 때 화이트헤드는 더 이상 자신감 넘치는 아침을 기뻐하지 말라고 했다고 한다. 그래서 우리는 집합을 두 부류로 구별해 볼 수 있는데, 하나는 그 자신을 구성원으로 하는 집합이요, 다른 하나는 그 자신이 구성원이 되지 않는 집합이다. 아마도 이 과정에서 가장 중요한 사건의 하나는 이른바 러셀의 패러독스(Russells Paradox)라고 하는 역리를 발견한 것일텐데, 러셀이 1901년 이 역리를 발견했을 때 화이트헤드는 더 이상 자신감 넘치는 아침을 기뻐하지 말라고 했다고 한다. 바로 이것이 러셀의 역리이다. 좀더 정확하게 말하면, 그는 수를 집합의 집합으로 보았다.
러셀은 수학이 순수하게 논리적인 것에 기초한다는 것을 보이기 위해서 수 관념을 논리학에 속하는 관념들로부터 도출해내려고 시도했다. 러셀은 이렇게 수를 논리적인 관념에서 이끌어 내는 과정에서 모순에 도달하게 된다 집합은 그 자신이 다른 집합의 구성원이 될 수 있었다. 이를테면, 2라는 수는 한 쌍들의 집합으로 definition 할 수 있따 2는 구성원이 두 개로 이루어지는 모든 집합의 집합으로 definition 될 수 있다는 것이다.
설명
러셀은 처음에 자신의 추론과정에서 실수가 있었을 것이라고 생각했으나, 그의 추론을 면밀히 검토한 결과 역리를 피할 수 없음을 알게 된다 그는 이 사실을 프레게에게 편지로 썼는데, 프레게는 산수가 비틀거리고 있으며, 자신의 제 5 법칙이 틀렸다는 회신을 보낸다.
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수학과 사회 - 집합론 history(역사)
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수학과 사회,집합론 역사
『수학원리』의 목적은 모든 순수 수학은 순전히 논리적 전제들로부터 도출해 낼 수 있으며 오로지 논리적인 언어만을 가지고 定義(정이)할 수 있는 개념(槪念)만을 사용한다는 것을 보이려는 것이다. S를 그들 자신이 원소가 아닌 모든 집합의 집합이라 definition 하자. 이때 S는 그 자신의 원소일까? 만일 S가 S의 원소라 한다면, S의 definition 에 의해서, S는 S의 원소가 아닌것이다 . 그러나 만일 S가 S의 원소가 아니라면, (다시, S의 definition 에 의해서) S는 S의 원소이다. 그는 집합 관념을 통해서 수를 definition 함으로써 그것이 가능하다고 보았다.
